Question

已知a＞0，且a≠1，f（a^x）=x-．
（1）求f（x）的定義域；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（1）設(shè)t=a^x，則x=log_at，t＞0
所以，所以，要使函數(shù)有意義則
log_ax≥0，若a＞1，則x≥1．若0＜a＜1，則0＜x＜1．
所以若a＞1，函數(shù)的定義域?yàn)閇1，+∞）．若0＜a＜1，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1）
（2）由（1）知，令，則y=f（u）=u²-u，
①當(dāng)a＞1時(shí)，f（u）在u單調(diào)遞減，在u單調(diào)遞增．
而，在[1，+∞）恒為單調(diào)遞增．
所以原函數(shù)f（x）在[1，）上單調(diào)遞減，在[，+∞）單調(diào)遞增．
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，同理可得，原函數(shù)f（x）在（，1）單調(diào)遞增．
在（0，）單調(diào)遞增．
分析：（1）利用換元法先求出f（x）的表達(dá)式，利用函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的定義域．
（2）利用換元法先求出f（x）的表達(dá)式，然后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷單調(diào)區(qū)間．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的定義域以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷，綜合性較強(qiáng)，難度較大．