Question

12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊的邊長分別為a，b，c，已知c=$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{3}$．
（1）求△ABC的周長l的最大值；
（2）若2sin2A+sin（2B+C）-sinC=0，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）由題意可得△ABC的周長=a+b+c=$\sqrt{3}$+2sinB+2sinA═$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），結(jié)合A的范圍可得答案．
（2）利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式可得2sinAcosA=sinBcosA，當cosA=0時，可得A=$\frac{π}{2}$，可求B，b，利用三角形面積公式即可得解；當cosA≠0時，由正弦定理解得b=2a，利用余弦定理可求a，b，根據(jù)三角形面積公式即可得解．

解答 解：（1）由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}=2$，
∴可得b=2sinB，a=2sinA，
∴△ABC的周長l=a+b+c=$\sqrt{3}$+2sinB+2sinA，
=$\sqrt{3}$+2sin（$\frac{2π}{3}$-A）+2sinA
=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]
∴當sin（A+$\frac{π}{6}$）=1時，△ABC的周長l=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）取最大值3$\sqrt{3}$．
（2）∵2sin2A+sin（2B+C）-sinC=0，
⇒2sin2A=sin（A+B）-sin（B-A+π）
⇒2sin2A=sin（A+B）+sin（B-A）
⇒2sinAcosA=sinBcosA，
∴當cosA=0時，可得A=$\frac{π}{2}$，由c=$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{3}$．故B=$\frac{π}{6}$，可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{1}{2}×$$\frac{csinB}{sinC}$×c=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
當cosA≠0時，可得2sinA=sinB，由正弦定理可得：b=2a，由c=$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{3}$，利用余弦定理可得：3=a²+b²-ab=3a²，解得：a=1，b=2，可求S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，三角函數(shù)的最值，三角形面積公式，正弦定理，余弦定理的綜合應用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．