Question

如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O為AB的中點．
（Ⅰ）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值；
（Ⅱ）在DE上是否存在一點P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意建立空間直角坐標系，通過法向量求出平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值．
（Ⅱ）假設(shè)在DE存在一點P，設(shè)出坐標，根據(jù)CP⊥面DEF，得到所以與平面DEF的法向量n₂共線，求出λ，得到DP即可．
解答：解：以O(shè)為原點，OB，OC，Oz分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
C（0，，0），D（1，0，1），E（0，，3），F(xiàn)（-1，0，2）．
（Ⅰ）平面ABC的法向量為n₁=（0，01）．
設(shè)平面DEF的法向量為n₂=（x，y，z），=（-1，，2）．
由得所以
取x=1，得n₂=（1，-，2）．
所以cos＜m₁，m₂＞===，所以平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值為．

（Ⅱ）假設(shè)在DE存在一點P，設(shè)P（x，y，z），
因為=λ，故（x-1，y，z-1）=λ（-1，，2），
所以P（-λ+1，λ，2λ+1），所以CP=（-λ+1，λ-，2λ+1）．
因為平CP⊥面DEF，所以與平面DEF的法向量n₂共線，
所以==，解得λ=，
所以=，即|DP|=|DE|，所以DP=．
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，以及與二面角相關(guān)的立體幾何問題綜合運用．通過數(shù)形結(jié)合，以及對知識的綜合考查，達到考查學生基本能力的目的，屬于中檔題．