Question

討論并證明函數(shù)f（x）=x+

1

x

在（0，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：先在定義域上取值，再作差、變形，變形徹底后根據(jù)式子的特點，討論判斷符號、下結(jié)論．

解答：證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，則有f（x₁）-f（x₂）=（x1+

1

x1

）-（x2+

1

x2

）=（x₁-x₂）+（

1

x1

-

1

x2

）=（x₁-x₂）

x1x2-1

x1x2

（1）當0＜x₁＜x₂＜1時，x₁x₂＜1，即，x₁x₂-1＜0，又∵x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），所以函數(shù)在（0，+∞）上為減函數(shù)．
（2）當1＜x₁＜x₂時，x₁x₂＞1，即，x₁x₂-1＞0，又∵x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），所以函數(shù)在（0，+∞）上為增函數(shù)．
綜上所述，f（x）=x+

1

x

在（0，1）上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增．

點評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的證明方法：定義法，本題關(guān)鍵是將（0，+∞）分成兩個區(qū)間分別討論．