Question

已知向量

a

=(sinωx，sinωx)，

b

=(sinωx，

3

coxωx)，其中ω＞0，設(shè)函數(shù)f（x）=2

a

•

b

，已知f（x）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=log₂f（x），求g（x）的定義域和單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）證明：直線x=

5π

6

是g（x）圖象的一條對稱軸．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)向量的數(shù)量積運算公式以及兩角和與差的正弦函數(shù)求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，再結(jié)合f（x）的最小正周期為π求出ω即可得到f（x）的解析式；
（2）先根據(jù)真數(shù)大于0結(jié)合三角函數(shù)的圖象求出函數(shù)的定義域；再結(jié)合符合函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．（注意是在定義域內(nèi)）
（3）設(shè)

5π

6

+x在g（x）的定義域中，可得

5π

6

-x也在g（x）的定義域中；只需要證明g(

5π

6

+x)=g(

5π

6

-x)即可說明結(jié)論．

解答：解：（1）f(x)=2(sin2ωx+

3

sinωx•cosωx)=1-cos2ωx+

3

sin2ωx=2(sin2ωx•

3

2

-cos2ωx•

1

2

)+1=2sin(2ωx-

π

6

)+1
∵ω＞0，
∴T=

2π

2ω

=

π

ω

=π，
∴ω=1，
∴f(x)=2sin(2x-

π

6

)+1
（2）g(x)=log2[2sin(2x-

π

6

)+1]，
由2sin(2x-

π

6

)+1＞0得：sin(2x-

π

6

)＞-

1

2

，
∴2kπ-

π

6

＜2x-

π

6

＜

7π

6

+2kπ
∴kπ＜x＜kπ+

2π

3

(k∈Z)，
即g（x）的定義域為(kπ，kπ+

2π

3

)(k∈Z)
∴2kπ-

π

6

＜2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

⇒kπ＜x≤kπ+

π

3

，
故增區(qū)間為(kπ，kπ+

π

3

](k∈Z)．
（3）設(shè)

5π

6

+x在g（x）的定義域中，則對一切k∈Z，有kπ＜

5π

6

+x＜kπ+

2π

3

，
∴-kπ-

2π

3

＜-

5π

6

-x＜-kπ
∴(-k+1)π＜

5π

6

-x＜(-k+1)π+

2π

3

(k∈Z)
∴點

5π

6

-x也在g（x）的定義域中．
又 g(

5π

6

+x)=log2(-2cos2x+1)，g(

5π

6

-x)=log2(-2cos2x+1)
∴g(

5π

6

+x)=g(

5π

6

-x)，故g（x）的圖象關(guān)于直線x=

5π

6

對稱．

點評：本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算以及兩角和與差的正弦函數(shù)和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．在涉及到對數(shù)函數(shù)問題時，一定要注意定義域的限定，避免出錯．