Question

銀行按規(guī)定每經(jīng)過一定的時間結(jié)算存（貸）款的利息一次，結(jié)算后即將利息并入本金，這種計算利息的方法叫做復(fù)利．現(xiàn)在有某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案：
甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲得利潤1萬元，以后每年比上年增加30%的利潤；
乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲得利潤1萬元，以后每年比前一年多獲利5000元．
兩種方案的期限都是10年，到期一次行歸還本息．若銀行貸款利息均以年息10%的復(fù)利計算，試比較兩個方案哪個獲得存利潤更多？（計算精確到千元，參考數(shù)據(jù)：1.1¹⁰=2.594，1.3¹⁰=13.796）

Answer 1

分析：由題意可知，甲方案中增長利率是定值，所以每年利潤數(shù)是以1為首項，以1.3為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的前n項和公式求出10年利潤總數(shù)；乙方案中每年增長的利潤是一定值，所以每年利潤數(shù)是以1為首項，以0.5為公差的等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的前n項和公式求出10年利潤總數(shù)，然后比較兩種情況的數(shù)值．

解答：解：甲方案10年獲利潤是每年利潤數(shù)組成的數(shù)列的前10項的和：1+(1+30%)+(1+30%)2++(1+30%)9=

1.310-1

1.3-1

=42.62（萬元）
到期時銀行的本息和為10×（1+10%）¹⁰=10×2.594=25.94（萬元）
∴甲方案扣除本息后的凈獲利為：42.62-25.94≈16.7（萬元）
乙方案：逐年獲利成等差數(shù)列，前10年共獲利：1+(1+0.5)+(1+2×0.5)++(1+9×0.5)=

10(1+5.5)

2

=32.50（萬元）
貸款的本利和為：1.1[1+(1+10%)++(1+10%)9]=1.1×

1.110-1

1.1-1

=17.53（萬元）
∴乙方案扣除本利后的凈獲利為：32.50-17.53=15.0（萬元）
所以，甲方案的獲利較多．

點評：數(shù)列應(yīng)用問題主要涉及產(chǎn)品增長率，銀行利率，濃度配比，分期付款等問題，解題時建立數(shù)列模型，應(yīng)用數(shù)列的相應(yīng)知識進(jìn)行求解．要注意審題，理解題中的實際意義，選擇合適的模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題．