Question

若直線y=x+t與橢圓

x2

4

+y2=1相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)t變化時(shí)，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析：直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，可求|AB|，從而可求|AB|的最大值．

解答：解：以y=x+t代入

x2

4

+y2=1，并整理得5x²+8tx+4t²-4=0①
因?yàn)橹本�與橢圓相交，則△=64t²-20（4t²-4）＞0，…（3分）
所以t²＜5，即-

5

＜t＜

5

，…（3分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A（x₁，x₁+t），B（x₂，x₂+t），且x₁，x₂是方程①的兩根．由韋達(dá)定理可得：

x1+x2=- 8t 5 x1•x2= 4(t2-1) 5

，…（6分）
所以，弦長(zhǎng)|AB|²=(x1-x2)2+(y1-y2)2=2(x1-x2)2=2[(x1+x2)2-4x₁•x₂]=2[(-

8t

5

)2-4•

4(t2-1)

5

]…（9分）
所以|AB|=

4

5

2

•

5-t2

，
所以當(dāng)t=0時(shí)，|AB|取最大值為

4

5

10

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確計(jì)算弦長(zhǎng)是關(guān)鍵．