Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+a）e^-x，（a為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=0時(shí)取得極小值，試確定a的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)由f（x）的極大值構(gòu)成的函數(shù)為g（x），試判斷曲線g（x）只可能與直線2x-3y+m=0、3x-2y+n=0（m，n為確定的常數(shù)）中的哪一條相切，并說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）f'（x）=（2x+a）e^-x-e^-x（x²+ax+a）=e^-x[-x²+（2-a）x]=e^-x•（-x）•[x-（2-a）]，令f'（x）=0，
得x=0或x=2-a，
當(dāng)a=2時(shí)，f'（x）=-x²e^-x≤0恒成立，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)a＜2時(shí)，f'（x）＜0時(shí)，2-a＞0，
若x＜0，則f'（x）＜0，若0＜x＜2-a，則f'（x）＞0，x=0是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)；
當(dāng)a＞2時(shí)，2-a＜0，若x＞0，則，若2-a＜x＜0，則f'（x）＞0，
此時(shí)x=0是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，
綜上所述，使函數(shù)f（x）在x=0時(shí)取得極小值的a的取值范圍是a＜2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a＜2，且當(dāng)x＞2-a時(shí)，f'（x）＜0，
因此x=2-a是f（x）的極大值點(diǎn)，f_max（x）=f（2-a）=（4-a）e^a-2，
于是g（x）=（4-x）e^x-2（x＜2）
g'（x）=-e^x-2+e^x-2（4-x）=（3-x）e^x-2，令h（x）=（3-x）e^x-2（x＜2），
則h'（x）=（2-x）e^x-2＞0恒成立，
即h（x）在（-∞，2）是增函數(shù)，
所以當(dāng)x＜2時(shí)，h（x）＜h（2）=（3-2）e^2-2=1，即恒有g(shù)'（x）＜1，
又直線2x-3y+m=0的斜率為，直線3x-2y+n=0的斜率為，
所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知曲線g（x）只可能與直線2x-3y+m=0相切．
分析：（I）求出導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)根，就兩根的大小分類討論，在各類中判斷根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)正負(fù)，據(jù)極值的定義求出極小值．
（II）借助（I）求出極大值g（x），求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)g′（x），據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，g′（x）的范圍即為切線斜率的范圍，再通過g′（x）的導(dǎo)數(shù)研究g′（x）的單調(diào)性，判斷出g′（x）范圍即切線斜率的范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線斜率，注意：在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)是，往往需要討論．