Question

已知數列{a_n}和{b_n}滿足：
（1）a₁＜0，b₁＞0；
（2）當

ak-1+bk-1

2

≥0時a_k=a_k-1，bk=

ak-1+bk-1

2

；當

ak-1+bk-1

2

＜0時，ak=

ak-1+bk-1

2

，b_k=b_k-1（k≥2，k∈N^*）．
（Ⅰ）如果a₁=-3，b₁=7，試求a₂，b₂，a₃，b₃；
（Ⅱ）證明：數列{b_n-a_n}是一個等比數列；
（Ⅲ）設n（n≥2）是滿足b₁＞b₂＞b₃＞…＞b_n的最大整數，證明n＞log2

a1-b1

a1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為

a1+b1

2

=2＞0，所以a₂=a₁=-3 依此類推按照（2）的規(guī)則要求，判斷條件，代入計算．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的具體求項，應得到一般的有bk-ak=

bk-1-ak-1

2

，不難證得數列{b_n-a_n}是一個等比數列；
（Ⅲ）先確定必有

ak-1+bk-1

2

≥0  進而bn=a1+(b1-a1)(

1

2

)n-1，n是滿足

an+bn

2

＜0的最小整數． 將此式轉化求證．

解答：解：（1）因為

a1+b1

2

=2＞0，所以a₂=a₁=-3，b2=

a1+b1

2

=2
因為

a2+b2

2

=-

1

2

＜0，所以a3=

a2+b2

2

=-

1

2

，b₃=b₂=2
（2）證明：當

ak-1+bk-1

2

≥0時，bk-ak=

ak-1+bk-1

2

-ak-1=

bk-1-ak-1

2

；
當

ak-1+bk-1

2

＜0時，bk-ak=bk-1-

ak-1+bk-1

2

=

bk-1-ak-1

2

因此不管哪種情況，都有bk-ak=

bk-1-ak-1

2

，所以數列{b_n-a_n}是首項為b₁-a₁，
公比為

1

2

的等比數列                                
（3）證明：由（2）可得bn-an=(b1-a1)(

1

2

)n-1
因為b₁＞b₂＞b₃＞…＞b_n（n≥2），所以b_k≠b_k-1（2≤k≤n），
所以

ak-1+bk-1

2

＜0不成立，所以

ak-1+bk-1

2

≥0
此時對于2≤k≤n，都有a_k=a_k-1，bk=

ak-1+bk-1

2

，
于是a₁=a₂=…=a_n，所以bn=a1+(b1-a1)(

1

2

)n-1
若

an+bn

2

≥0，則bn+1=

an+bn

2

，bn+1=a1+(b1-a1)(

1

2

)n
所以bn+1-bn=[a1+(b1-a1)(

1

2

)n]-[a1+(b1-a1)(

1

2

)n-1]=-(b1-a1)(

1

2

)n＜0，
所以b_n＞b_n+1，這與n是滿足b₁＞b₂＞b₃＞…＞b_n（n≥2）的最大整數相矛盾，
因此n是滿足

an+bn

2

＜0的最小整數．

an+bn

2

＜0?a1+(b1-a1)(

1

2

)n＜0?

b1-a1

-a1

＜2n?log2

a1-b1

a1

＜n，命題獲證

點評：本題考查等比數列的判定、不等式的證明．要求具有閱讀能力、分析解決問題、計算、分類討論的意識和能力．屬于難題．