Question

點M的直角坐標(biāo)為(-1，-1，

2

)，則它的球坐標(biāo)為（　�。�

• A、(2，

  π

  4

  ，

  π

  4

  )
• B、(2，

  π

  4

  ，

  5π

  4

  )
• C、(2，

  5π

  4

  ，

  π

  4

  )
• D、(2，

  3π

  4

  ，

  π

  4

  )

Answer 1

分析：利用球坐標(biāo)系（r，θ，φ）與直角坐標(biāo)系（x，y，z）的轉(zhuǎn)換關(guān)系：x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=rcosθ；反之，直角坐標(biāo)系（x，y，z）與球坐標(biāo)系（r，θ，φ）的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：r=

x 2+y 2+z 2

； φ=arctan（

y

x

）； θ=arccos（

z

r

）；進行轉(zhuǎn)換即得．

解答：解：設(shè)點M的球面坐標(biāo)系的形式為（r，φ，θ），r是球面半徑，φ為向量OA在xOy面上投影到X正方向夾角，θ為向量OA與z軸正方向夾角
所以r=

(-1) 2+(-1) 2+( 2 ) 2

=2，容易知道φ=45°=

π

4

同時結(jié)合點M的直角坐標(biāo)為(-1，-1，

2

)，
可知 tanθ=

y

x

=1，所以 θ=

5π

4

所以球面坐標(biāo)為(2，

π

4

，

5π

4

)
故選B．

點評：假設(shè)P（x，y，z）為空間內(nèi)一點，則點P也可用這樣三個有次序的數(shù)r，φ，θ來確定，其中r為原點O與點P間的距離，θ為有向線段OP與z軸正向的夾角，φ為從正z軸來看自x軸按逆時針方向轉(zhuǎn)到OM所轉(zhuǎn)過的角，這里M為點P在xOy面上的投影．這樣的三個數(shù)r，φ，θ叫做點P的球面坐標(biāo)，顯然，這里r，φ，θ的變化范圍為r∈[0，+∞），φ∈[0，2π]，θ∈[0，π]，