Question

已知函數(shù)f（x）=kx+b（k≠0）的圖象與x、y軸分別相交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，向量

AB

=（2，2），又函數(shù)g（x）=x²-x-6，且y=g（x）+m的值域是[0，+∞）．
（1）求k，b及m的值；
（2）當(dāng)x滿足f（x）＞g（x）時(shí)，求函數(shù)

g(x+2)+10

f(x)

的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，根據(jù)向量相等即可求出k，b；根據(jù)二次函數(shù)的判別式與值域的關(guān)系即可求出m；
（2）利用基本不等式的性質(zhì)即可求出．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=kx+b（k≠0）的圖象與x、y軸分別相交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，
∴A(-

b

k

，0)，B（0，b），∴

AB

=(

b

k

，b)．
∵向量

AB

=（2，2），∴

b k =2 b=2

，解得

k=1 b=2

．
∵函數(shù)g（x）=x²-x-6+m的值域是[0，+∞），
∴△=1-4（m-6）=0，解得m=

25

4

．
（2）由（1）可知：f（x）=x+2，
∵f（x）＞g（x），∴x+2＞x²-x-6，
化為x²-2x-8＜0，∴（x-4）（x+2）＜0，∴-2＜x＜4．
∴函數(shù)

g(x+2)+10

f(x)

=

(x+2)2-(x+2)+4

x+2

=（x+2）+

4

x+2

-1，
∵0＜x+2＜6，∴(x+2)+

4

x+2

≥2

(x+2)× 4 x+2

=4，當(dāng)且僅當(dāng)x+2=2，即x=0時(shí)等號(hào)成立，
∴x=0時(shí)，

g(x+2)+10

f(x)

的最小值是3．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握向量相等、二次函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．