Question

已知函數(shù)f（x）=cosωx（ωx+cosωx），其中0＜ω＜2．
（1）若f（x）的周期為π，求當時f（x）的值域
（2）若f（x）的圖象的一條對稱軸為x=，求ω的值
（3）對任意m∈R函數(shù)y=f（x），x∈[m，m+π]圖象與y=有且僅有一個交點，求y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

解：f（x）=cosωx（ωx+cosωx）=sin2ωx+（1+cos2ωx）=sin（2ωx+）+，
（1）∵f（x）的周期為T==π，∴ω=1，函數(shù)解析式為f（x）=sin（2x+）+，
∵，可得-≤2x+≤
∴函數(shù)當x=時，取最大值；當x=-時，取最小值0
因此，當時f（x）的值域為[0，]．
（2）由題意，得x=是2ωx+=+kπ（k∈Z）的一個解，
可得2ω•+=+kπ，所以ω=（1+3k）
∵k∈Z且0＜ω＜2，∴取k=0，得ω=．
（3）∵對任意m∈R，函數(shù)在x∈[m，m+π]的圖象與y=有且僅有一個交點，而恰好是函數(shù)的最大值
∴函數(shù)的周期T=π，得=π，ω=1，函數(shù)解析式為f（x）=sin（2x+）+，
令-+2mπ≤2x+≤+2mπ，得-+mπ≤x≤+mπ，其中m是整數(shù)
∴y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-+mπ，+mπ]，m∈Z
分析：（1）利用三角公式，將函數(shù)化簡為f（x）=sin（2ωx+）+，根據(jù)三角函數(shù)的周期公式可得ω=1，得到函數(shù)解析式，最后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得到當時f（x）的值域．
（2）由正弦函數(shù)圖象對稱軸方程的公式，得x=是2ωx+=+kπ（k∈Z）的一個解，結(jié)合0＜ω＜2，可得ω的值．
（3）根據(jù)題意，可得函數(shù)的周期為π，從而求得函數(shù)解析式為f（x）=sin（2x+）+，再利用正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式，解不等式即可得到y(tǒng)=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
點評：本題將一個三角函數(shù)式化簡，求它在閉區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間與值域，并求對稱軸方程，著重考查了和與差的三角函數(shù)公式、降次公式和輔助角公式，以及三角函數(shù)的值域求法等知識，屬于基礎(chǔ)題．