Question

12．已知函數f（x）=ln（x+1）+ax²，其中a∈R
（Ⅰ）若函數f（x）在x=1處的切線與直線x+y-1=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）討論函數f（x）極值點的個數，并說明理由；
（Ⅲ）若?x＞0，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）$f′（x）=\frac{1}{x+1}+2ax$，（x＞-1），切線的斜率k=$f′（1）=\frac{1}{2}+2a$=1，可得$a=\frac{1}{4}$；
（2）$f′（x）=\frac{1}{x+1}+2ax$=$\frac{2a{x}^{2}+2ax+1}{x+1}$，（x＞-1），令h（x）=2ax²+2ax+1，分①當△=（2a）²-4×2a×1=4a²-8a≤0，②當△=4a²-8a＞0討論，
（3）?x＞0，f（x）≥0恒成立，即f（x）_min≥0，分0≤a≤2，②a＜0，③a＞2討論即可．

解答 解：（1）$f′（x）=\frac{1}{x+1}+2ax$，（x＞-1），
 函數f（x）在x=1處的切線的斜率k=$f′（1）=\frac{1}{2}+2a$，
∵函數f（x）在x=1處的切線與直線x+y-1=0垂直，∴$\frac{1}{2}+2a=1，得a=\frac{1}{4}$，
∴$a=\frac{1}{4}$；
（2）∵$f′（x）=\frac{1}{x+1}+2ax$=$\frac{2a{x}^{2}+2ax+1}{x+1}$，（x＞-1），
h（x）=2ax²+2ax+1，
①當△=（2a）²-4×2a×1=4a²-8a≤0，函數f（x）單調，即當0≤a≤2時，函數f（x）無極值點；
②當△=4a²-8a＞0時，即a＜0或a＞2，
當a＜0時，方程2ax²+2ax+1=0，有一正一負兩根x₁，x₂，x₁+x₂=-1，∴x₁＜-1，x₂＞0，故函數f（x）有一個極值點；
 當a＞2時，方程2ax²+2ax+1=0，有兩個負根，∵x₁+x₂=-1，∴x₁＞-1，x₂＞-1，故函數f（x）有兩個極值點；
（3）由（2）得：①當0≤a≤2時，函數f（x）單調遞增，?x＞0，f（x）＞f（0）=0，符合題意；
②當a＜0時，故函數f（x）有一個極值點x₂＞0，x∈（0，x₂）函數f（x）遞增，x∈（x，+∞）遞減，?x＞0，f（x）≥0不恒成立，故不符合題意；
③當a＞2時，函數f（x）有兩個極值點x₁，x₂，0＞x₁＞-1，0＞x₂＞-1，函數f（x）單調遞增，?x＞0，f（x）＞f（0）=0，符合題意；
綜上，a的取值范圍為：[0，+∞）．

點評 本題考查了利用導數求函數切線斜率、函數單調性、極值點個數、屬于中檔題．