Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=

3

cos2x-sin2x，下列命題正確的是

（1）（4）

．
（1）函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=

11π

12

對(duì)稱；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（-

π

12

，

5π

12

）內(nèi)是增函數(shù)；
（3）任意x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），則|x₁-x₂|=kπ，k∈Z
（4）將函數(shù)y=2cos2x的圖象向左平移

π

12

個(gè)單位后得到y(tǒng)=f（x）圖象．

Answer 1

分析：先將三角函數(shù)進(jìn)行化簡，然后分別利用三角函數(shù)的圖形和性質(zhì)去判斷．
（1）將x=

11π

12

代入，比較是不是最值；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性去判斷區(qū)間；
（3）問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)周期問題；
（4）通過平移對(duì)比兩個(gè)表達(dá)式是否為同一個(gè)表達(dá)式．

解答：解：函數(shù)f（x）=

3

cos2x-sin2x=-2sin（2x-

π

3

）．
（1）當(dāng)x=

11π

12

時(shí)，f（

11π

12

）=-2sin（2×

11π

12

-

π

3

）=-2sin

3π

2

=2為函數(shù)f（x）最大值，
所以x=

11π

12

是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，所以（1）正確．
（2）當(dāng)x∈（-

π

12

，

5π

12

）時(shí)，-

π

6

＜2x＜

5π

6

，-

π

2

＜2x-

π

3

＜

π

2

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以（2）不正確．
（3）由于任意x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），則f（x₁）=f（x）|_最小值，f（x₂）=f（x）|_最大值，
則|x₁-x₂|=kπ，k∈N^*，故（3）不正確；
（4）由y=2cos2x的圖象向左平移

π

12

個(gè)單位長度，
得到y=2cos2(x+

π

12

)=y=2cos(2x+

π

6

)=2sin[

π

2

-(2x+

π

6

)]=2sin(

π

3

-2x)═-2sin(2x-

π

3

)．
所以（4）正確．所以正確的是（1）（4）
故答案為：（1）（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，先利用輔助角公式將三角函數(shù)進(jìn)行化簡，然后在研究相應(yīng)的性質(zhì)