Question

已知函數(shù)f（x）=（2-a）x-2（1+lnx）+a．
（1）當a=1時，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，

1

2

）無零點，求a的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）對f（x）求導，計算其單調區(qū)間，注意到定義域的范圍．
（2）將f（x）的表達式重新組合，即f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，分別研究函數(shù)m（x）=（2-a）（x-1），h（x）=2lnx，x＞0，討論當a＜2時和當a≥2時的情況．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=x-1-2lnx，則f′（x）=1-

2

x

，定義域x∈（0，+∞），
由f′（x）＞0，得x＞2；由f′（x）＜0，得0＜x＜2，
故f（x）的單調減區(qū)間為（0，2），單調增區(qū)間為（2，+∞）．
（2）f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，
令m（x）=（2-a）（x-1），x＞0；h（x）=2lnx，x＞0，則f（x）=m（x）-h（x），
①當a＜2時，m（x）在（0，

1

2

）上為增函數(shù)，h（x）在（0，

1

2

）上為增函數(shù)．
結合圖象可知，若f（x）在（0，

1

2

）無零點，則m（

1

2

）≥h（

1

2

）．
即（2-a）×（

1

2

-1）≥2ln

1

2

，∴a≥2-4ln2．
∴2-4ln2≤a＜2．
②當a≥2時，在（0，

1

2

）上m（x）≥0，h（x）＜0．
∴f（x）＞0，
∴f（x）在（0，

1

2

）上無零點，
由①②得a≥2-4ln2，
∴a_min=2-4ln2．

點評：本題是導數(shù)部分的日�？疾閮热荩�即求函數(shù)的單調性及用函數(shù)的單調性解決相關問題，在第二問的處理中，是將原函數(shù)分成兩個函數(shù)的差，再進一步通過數(shù)形結合進行談論研究，學生也可以直接用求導的方式討論研究．