Question

（2012•湘潭模擬）已知M={(x，y)|0≤y≤

4-x2

}，直線l：y=kx+2k與曲線C：y=

4-x2

有兩個不同的交點(diǎn)，設(shè)直線l與曲線C圍成的封閉區(qū)域為P，在區(qū)域M內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)A，點(diǎn)A落在區(qū)域P內(nèi)的概率為p，若p∈[

π-2

2π

，1]，則實數(shù)k的取值范圍為（　�。�

• A．[

  1

  2

  ，1]
• B．[0，1]
• C．[

  3

  3

  ，1]
• D．[0，

  3

  3

  ]

Answer 1

分析：集合M為圓心為原點(diǎn)，2為半徑且在x軸上方的半圓，將直線l的方程變形后，發(fā)現(xiàn)直線恒過定點(diǎn)（-2，0），根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，結(jié)合概率范圍可知直線與圓的關(guān)系，直線以（-2，0）點(diǎn)為中心順時針旋轉(zhuǎn)至與x軸重合，從而確定直線的斜率范圍．

解答：解：畫出圖形，如圖所示：

直線y=kx+2k變形得：y-0=k（x+2），
∴直線恒過定點(diǎn)（-2，0），
又集合M為以原點(diǎn)為圓心，2為半徑且在x軸上邊的半圓，
當(dāng)直線l過（-2，0），（0，2）時，
它們圍成的平面區(qū)域為M，向區(qū)域P上隨機(jī)投一點(diǎn)A，
點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為P（M），
∵圓的半徑為2，∴半圓面積為2π，
∴S_扇形AOB=π，S_△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

×2×2=2，
∴平面區(qū)域M的面積S=S_扇形AOB-S_△AOB=π-2，
∴P（M）=

π-2

2π

，
此時直線l的斜率為

2-0

0-(-2)

=1；
當(dāng)直線與x軸重合時，P（M）=1，此時直線l的斜率為0，
綜上，直線l的斜率范圍是[0，1]．
故選B

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有：恒過定點(diǎn)的直線方程，概率的求法，以及直線斜率的求法，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形是本題的突破點(diǎn)．