Question

已知函數(shù)f(x)=

lnx

x

．
（1）求f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在[1，t]上的最大值．

Answer 1

分析：先求函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），然后對函數(shù)求導(dǎo)可得f；(x)=

1-lnx

x2

．
（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線的斜率k=f′（1），從而可求切線方程
（Ⅱ） 先令f′（x）=0，解得x=e，從而可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后分別討論t＜e時(shí)，當(dāng)t≥e時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)性質(zhì)，從而求解函數(shù)的最值

解答：解：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f（x）的導(dǎo)數(shù)f；(x)=

1-lnx

x2

．
（Ⅰ）切線的斜率k=f′（1）=1，所以切線方程為：y=x-1．
（Ⅱ） 令f′（x）=0，解得x=e
當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減．
當(dāng)t＜e時(shí)，函數(shù)在[1，t]上單調(diào)遞增，函數(shù)在x=t時(shí)有最大值

lnt

t

當(dāng)t≥e時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，在[e，t]上單調(diào)遞減，當(dāng)x=e時(shí)函數(shù)有最大值為：

1

e

點(diǎn)評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求解過一點(diǎn)的切線方程及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最值，這是導(dǎo)數(shù)的最基本的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論在解題中的應(yīng)用．