Question

已知MN是邊長為2的正△ABC內切圓的一條直徑，P為邊AB上的一動點，則

PM

•

PN

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：如圖所示，建立直角坐標系，利用正三角形的中心的性質，可得內切圓的半徑r=

3

3

．可得正△ABC內切圓的方程為x2+(y-

3

3

)2=

1

3

．設P（t，0）（-1≤t≤1），M（x₀，y₀），N(-x0，

2 3

3

-y0)．再利用數量積運算即可得出．

解答： 解：如圖所示，
∵⊙D是邊長為2的正△ABC內切圓，
∴內切圓的半徑r=

1

3

|OC|=

1

3

×

3

2

×2=

3

3

．
∴正△ABC內切圓的方程為x2+(y-

3

3

)2=

1

3

．
設P（t，0）（-1≤t≤1），M（x₀，y₀），N(-x0，

2 3

3

-y0)．
∴

x

2 0

+(y0-

3

3

)2=

1

3

，即

x

2 0

+

y

2 0

-

2 3

3

y0=0．
∴

PM

•

PN

=(x0-t，y0)•(-x0-t，

2 3

3

-y0)
=t2-

x

2 0

-

y

2 0

+

2 3

3

y0
=t²，
∵-1≤t≤1．
∴t²∈[0，1]．
∴則

PM

•

PN

的取值范圍的取值范圍是[0，1]．
故答案為：[0，1]．

點評：本題考查了正三角形的中心的性質、內切圓的方程、數量積的運算等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．