Question

設(shè)A，B分別為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a，b＞0)的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且x=4為它的右準(zhǔn)線．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點(diǎn)M、N，證明點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)．
（此題不要求在答題卡上畫圖）

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)準(zhǔn)線方程求得a和c，則b可得，進(jìn)而求得橢圓的方程．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中的橢圓方程可求得A，B的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入橢圓方程，由P、A、M三點(diǎn)共線可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出

BM

•

BP

根據(jù)2-x₀＞0判斷出

BM

•

BP

＞0，進(jìn)而可知∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，判斷出點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)．

解答：解：（Ⅰ）依題意得a=2c，

a2

c

=4，
解得a=2，c=1，從而b=

3

．
故橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0）．
設(shè)M（x₀，y₀）．
∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上，
∴y₀²=

3

4

（4-x₀²）（1）
又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，
∴-2＜x₀＜2，由P、A、M三點(diǎn)共線可以得
P（4，

6y0

x0+2

）．
從而

BM

=（x₀-2，y₀），

BP

=（2，

6y0

x0+2

）．
∴

BM

•

BP

=2x₀-4+

6y02

x0+2

=

2

x0+2

（x₀²-4+3y₀²）．（2）
將（1）代入（2），化簡(jiǎn)得

BM

•

BP

=

5

2

（2-x₀）．
∵2-x₀＞0，
∴

BM

•

BP

＞0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，
故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問(wèn)題的能力．