Question

如圖所示,設(shè)P是拋物線C1:x2=y上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作圓C2:x2+(y+3)2=1的兩條切線,交直線l:y=-3于A、B兩點(diǎn).

(1)求圓C2的圓心M到拋物線C1準(zhǔn)線的距離;

(2)是否存在點(diǎn)P,使線段AB被拋物線C1在點(diǎn)P處的切線平分?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）存在點(diǎn)P滿(mǎn)足題意,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(±,2)

【解析】

解:(1)因?yàn)閽佄锞�C1的準(zhǔn)線方程為y=-,

所以圓心M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離為

=.

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,),拋物線C1在點(diǎn)P處的切線交直線l于點(diǎn)D.

再設(shè)A,B,D的橫坐標(biāo)分別為xA,xB,xD,

過(guò)點(diǎn)P(x0,)的拋物線C1的切線方程為

y-=2x0(x-x0).①

當(dāng)x0=1時(shí),過(guò)點(diǎn)P(1,1)與圓C2相切的直線PA的方程為

y-1=(x-1).

可得xA=-,xB=1,xD=-1,xA+xB≠2xD.

當(dāng)x0=-1時(shí),過(guò)點(diǎn)P(-1,1)與圓C2相切的直線PB的方程為y-1=-(x+1),

可得xA=-1,xB=,xD=1,xA+xB≠2xD,

所以-1≠0.

設(shè)切線PA、PB的斜率為k1,k2,

則PA:y-=k1(x-x0),②

PB:y-=k2(x-x0),③

將y=-3分別代入①②③得

xD=(x0≠0),

xA=x0-,

xB=x0-(k1,k2≠0),

∴xA+xB=2x0-(+3)（+）.

又=1,

即(-1)-2(+3)x0k1+(+3)2-1=0.

同理,(-1)-2(+3)x0k2+(+3)2-1=0.

∴k1、k2是方程(-1)k2-2(+3)x0k+(+3)2-1=0的兩個(gè)不相等的根,

從而k1+k2=,

k1·k2=.

因?yàn)?/span>xA+xB=2xD,

所以2x0-(3+)（+）=,

即+=.

從而=,

進(jìn)而得=8,

所以x0=±.

綜上所述,存在點(diǎn)P滿(mǎn)足題意,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(±,2).