Question

如圖，將邊長為3的正方形ABCD繞中心O順時針旋轉α （0＜α＜）得到正方形A′B′C′D′．根據(jù)平面幾何知識，有以下兩個結論：
①∠A′FE=α；
②對任意α （0＜α＜），△EAL，△EA′F，△GBF，△GB′H，△ICH，△IC′J，△KDJ，△KD′L均是全等三角形．
（1）設A′E=x，將x表示為α的函數(shù)；
（2）試確定α，使正方形A′B′C′D′與正方形ABCD重疊部分面積最小，并求最小面積．

Answer 1

解：（1）在Rt△EA′F中，因為∠A′FE=α，A′E=x，
所以EF=，A′F=．
由題意AE=A′E=x，BF=A′F=，
所以AB=AE+EF+BF=x++=3．
所以x=，α∈（0，） …（6分）
（2）S_△A′EF=•A′E•A′F=•x•=
=（）²•=． …（10分）
令t=sinα+cosα，則sinαcosα=．
因為α∈（0，），所以α+∈（，），所以t=sin（α+）∈（1，]．
S_△A′EF==（1-）≤（1-）．
正方形A′B′C′D′與正方形ABCD重疊部分面積S=S_{正方形A′B′C′D′}-4S_△A′EF≥9-9 （1-）=18（-1）．
當t=，即α=時等號成立． …（15分）
答：當α=時，正方形A′B′C′D′與正方形ABCD重疊部分面積最小，最小值為18（-1）．…（16分）
分析：（1）利用AB=AE+EF+BF=3，表示出相應線段長，即可將x表示為α的函數(shù)；
（2）求正方形A′B′C′D′與正方形ABCD重疊部分面積最小，即求S_△A′EF的最大值，表示出S_△A′EF，利用換元法，即可求得面積的最大值，從而可得結論．
點評：本題考查函數(shù)模型的構建，考查面積的計算，考查換元法，考查學生利用數(shù)學知識解決實際問題，屬于中檔題．