Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x²+ax-2a-3）x
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)a＞0，g（x）=（a²+8）x+30，確定f（x）與g（x）在[0，3]上值域；
（3）若存在x₁，x₂∈[0，3]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜3成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f′（x）=（x-1）（3x+2a+3）=0，得x=1，x=-，由此分類討論，能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）g（x）=（a²+8）x+30在[0，3]上值域為G=[30，3（a²+8）+30]．當(dāng)a＞0時，f（x）在[0，1]單調(diào)遞減，在[1，3]單調(diào)遞增，于是f（x）在x=1處取得最小值-a-2，在x=3處取得最大值3a+18，f（x）的值域是F=[-a-2，3a+18]；
（3）F∩G≠∅，一定存在x₁，x₂∈[0，3]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜3成立；F∩G=∅，則只要|f_max（x）-g_min（x）|＜3或|g_max（x）-f_min（x）|＜3，由-a-2＜3a+18＜30≤3（a²+8）+30，能求出求a的取值范圍．
解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=（x²+ax-2a-3）x=x³+ax²-2ax-3x，
∴f′（x）=3x²+2ax-2a-3=（x-1）（3x+2a+3），
令f′（x）=（x-1）（3x+2a+3）=0，得x=1，x=-．
當(dāng)a=-3時，f′（x）≥0，f（x）在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＜-3時，由f′（x）=（x-1）（3x+2a+3）＞0，
得x＞-，或x＜1，
由f′（x）=（x-1）（3x+2a+3）＜0，得1＜x＜-，
∴f（x）在[1，-]上單調(diào)遞減，
在（-∞，1），（-，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞-3時，由f′（x）=（x-1）（3x+2a+3）＞0，
得x＜-，或x＞1，
由f′（x）=（x-1）（3x+2a+3）＜0，得-＜x＜1，
∴f（x）在[-，1]上單調(diào)遞減，
在（-∞，-），（1，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）∵a＞0，g（x）=（a²+8）x+30，
∴g′（x）=a²+8＞0，
∴g（x）=（a²+8）x+30在[0，3]上是增函數(shù)，
∴g（x）=（a²+8）x+30在[0，3]上值域為G=[30，3（a²+8）+30]，
當(dāng)a＞0時，f（x）在[0，1]單調(diào)遞減，在[1，3]單調(diào)遞增，
于是f（x）在x=1處取得最小值-a-2，
在x=3處取得最大值3a+18，f（x）的值域是F=[-a-2，3a+18]．
（3）由（2）知，若F∩G≠∅，則一定存在x₁，x₂∈[0，3]，
使得|f（x₁）-g（x₂）|＜3成立；
F∩G=∅，則只要|f_max（x）-g_min（x）|＜3或|g_max（x）-f_min（x）|＜3，
由于-a-2＜3a+18＜30≤3（a²+8）+30，
解得a＞3．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的值域和實數(shù)的取值范圍的求法．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯．是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．