Question

設實數數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n+1=a_n+1S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）若a₁，S₂，-2a₂成等比數列，求S₂和a₃．
（Ⅱ）求證：對k≥3有0≤a_k≤

4

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意

S22=-2a1a2 S2=a2S1=a1a2

，得S₂²=-2S₂，由S₂是等比中項知S₂=-2，由此能求出S₂和a₃．
（Ⅱ）由題設條件知S_n+a_n+1=a_n+1S_n，S_n≠1，a_n+1≠1，且an+1=

Sn

Sn-1

，Sn=

an+1

an+1-1

，由此能夠證明對k≥3有0≤a_n-1≤

4

3

．

解答：解：（Ⅰ）由題意

S22=-2a1a2 S2=a2S1=a1a2

，
得S₂²=-2S₂，
由S₂是等比中項知S₂≠0，
∴S₂=-2．
由S₂+a₃=a₃S₂，解得a3=

S2

S2-1

=

-2

-2-1

=

2

3

．
（Ⅱ）證明：因為S_n+1=a₁+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1=a_n+1+S_n，
由題設條件知S_n+a_n+1=a_n+1S_n，
∴S_n≠1，a_n+1≠1，且an+1=

Sn

Sn-1

，Sn=

an+1

an+1-1

從而對k≥3 有a_k=

Sk-1

Sk-1-1

=

ak-1+Sk-2

ak-1+Sk-2-1

=

ak-1+ ak-1 ak-1-1

ak-1+ ak-1 ak-1-1 -1

①
因

a

2 k-1

-ak-1+1=(ak-1-

1

2

)2+

3

4

＞0，且

a

2 k-1

≥0，
要證ak≤

4

3

，由①，只要證

a 2 k-1

a 2 k-1 -ak-1+1

≤

4

3

即證3

a

2 k-1

≤4(

a

2 k-1

-ak-1+1)，即(ak-1-2)2≥0，
此式明顯成立，因此ak≤

4

3

(k≥3)．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．