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已知f（x）=（x-1）2，g（x）=10（x-1），數列{an}滿足a1=2，(an+1-an)g(an)+f(an)=0，bn=
910
(n+2)(an-1)
（Ⅰ）證明：數列{an-1}是等比數列；
（Ⅱ）當n取何值時，bn取最大值，并求出最大值．
分析：（Ⅰ）通過代入化簡整理，利用等比數列的定義即可證明；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論，通過作商即可比較出最大值．
解答：（Ⅰ）證明：∵（an+1-an）g（an）+f（an）=0，f（an）=(an-1)2，g（an）=10（an-1）．
∴（an+1-an）×10（an-1）+(an-1)2=0，化為（an-1）（10an+1-9an-1）=0．
又a1=2，可知：對任意的n∈N*，an-1≠0．
∴10an+1-9an-1=0，化為10（an+1-1）=9（an-1）．
∴
an+1-1
an-1
=
9
10
，
∴數列{an-1}是以a1-1=1為首項，
9
10
為公比的等比數列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知：an-1=1×(
9
10
)n-1，
∴bn=
9
10
(n+2)×(
9
10
)n-1=(n+2)×(
9
10
)n．
∴
bn+1
bn
=
(n+3)×(
9
10
)n+1
(n+2)(
9
10
)n
=
9
10
×(1+
1
n+2
)．
當n=7時，
b8
b7
=
9
10
×
10
9
=1，即b8=b7；
當n＜7時，
bn+1
bn
＞1，bn+1＞bn；
當n＞7時，
bn+1
bn
＜1，bn+1＜bn．
∴當n=7或8時，b8=b7=
98
107
取得最大值．
點評：熟練掌握等比數列的定義、通過作商法比較大小是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f （x）=sin （x+
π
2
），g （x）=cos （x-
π
2
），則下列命題中正確的是（　　）
A、函數y=f（x）•g（x）的最小正周期為2π
B、函數y=f（x）•g（x）是偶函數
C、函數y=f（x）+g（x）的最小值為-1
D、函數y=f（x）+g（x）的一個單調增區(qū)間是[-
3π
4
，
3π
4
]

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=
1，x＜0
2，x≥0
，g（x）=
3f(x-1)-f(x-2)
2
．
（1）當1≤x＜2時，求g（x）；
（2）當x∈R時，求g（x）的解析式，并畫出其圖象；
（3）求方程xf[g（x）]=2g[f（x）]的解．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f （x）=2sin（x+
θ
2
）cos（x+
θ
2
）+2
3
cos2（x+
θ
2
）-
3
．
（1）化簡f （x）的解析式；
（2）若0≤θ≤π，求θ使函數f （x）為偶函數；
（3）在（2）成立的條件下，求滿足f （x）=1，x∈[-π，π]的x的集合．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）若數學公式，設g（x）是函數f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的導函數，問是否存在實數a，滿足a＞1并且使g（x）在區(qū)間數學公式上的值域為數學公式，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2011年高三數學第一輪基礎知識訓練（20）（解析版） 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）若，設g（x）是函數f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的導函數，問是否存在實數a，滿足a＞1并且使g（x）在區(qū)間上的值域為，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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