Question

把邊長(zhǎng)為a的等邊三角形鐵皮剪去三個(gè)相同的四邊形（如圖陰影部分）后，用剩余部分做成一個(gè)無蓋的正三棱柱形容器（不計(jì)接縫），設(shè)容器的高為x，容積為V（x）．
（Ⅰ）寫出函數(shù)V（x）的解析式，并求出函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）求當(dāng)x為多少時(shí)，容器的容積最大？并求出最大容積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)容器的高為x，求得做成的正三棱柱形容器的底邊長(zhǎng)，從而可得函數(shù)V（x）的解析式，函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）實(shí)際問題歸結(jié)為求函數(shù)V（x）在區(qū)間(0，

3

6

a)上的最大值點(diǎn)，先求V（x）的極值點(diǎn)，再確定極大值就是最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)槿萜鞯母邽閤，則做成的正三棱柱形容器的底邊長(zhǎng)為(a-2

3

x)----（1分）．
則V(x)=

3

4

(a-2

3

x)2x．-------------------------（3分）
函數(shù)的定義域?yàn)?span id="n6q1nne" class="MathJye">(0，

3

6

a)．-------------------------（4分）
（Ⅱ）實(shí)際問題歸結(jié)為求函數(shù)V（x）在區(qū)間(0，

3

6

a)上的最大值點(diǎn)．
先求V（x）的極值點(diǎn)．
在開區(qū)間(0，

3

6

a)內(nèi)，V′(x)=9

3

x2-6ax+

3

4

a2--------------------（6分）
令V'（x）=0，即令9

3

x2-6ax+

3

4

a2=0，解得x1=

3

18

a，x2=

3

6

a（舍去）．
因?yàn)?span id="49yawm7" class="MathJye">x1=

3

18

a在區(qū)間(0，

3

6

a)內(nèi)，x₁可能是極值點(diǎn)．
當(dāng)0＜x＜x₁時(shí)，V'（x）＞0；當(dāng)x1＜x＜

3

6

a時(shí)，V'（x）＜0．---------------------（8分）
因此x₁是極大值點(diǎn)，且在區(qū)間(0，

3

6

a)內(nèi)，x₁是唯一的極值點(diǎn)，
所以x=x1=

3

18

a是V（x）的最大值點(diǎn)，并且最大值 f(

3

18

a)=

1

54

a3
即當(dāng)正三棱柱形容器高為

3

18

a時(shí)，容器的容積最大為

1

54

a3．-------------------（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是求出體積，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解．單峰函數(shù)，極值就是最值．