Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²+x，（a＞0）
（I）求a的最大值，使函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
（II）若對(duì)于任意的x∈（0，+∞），總有f（x）≤0，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）由題意可得：f′（x）==，（x＞0）
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，所以此時(shí)f（x）在（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞0時(shí)，方程-2ax²+x+1=0的判別式△=1+8a＞0，此時(shí)它有兩個(gè)不相等的實(shí)根x₁，x₂（x₁＜x₂），
因?yàn)閤₁x₂=，所以x₁＜0＜x₂．
當(dāng)x∈（0，x₂）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，
所以a的最大值為0．
（II）由f（1）=1-a可得，當(dāng)a＜1時(shí)，f（x）≤0不恒成立．
當(dāng)a≥0時(shí)，由f′（x₂）=0可得，
所以f（x₂）=lnx₂-ax₂²+x₂=lnx₂-+x₂=lnx₂-，
因?yàn)閒′（1）=2（1-a）≤0，由（I）可得x₂≤1，并且f（x₂）是f（x）最大值，
所以f（x）≤f（x₂）=lnx₂-≤ln1+-=0．
所以a的取值范圍為[1，+∞）．
分析：（I）由題意可得：f′（x）=，（x＞0）分別討論當(dāng)a≤0時(shí)與當(dāng)a＞0時(shí)，導(dǎo)數(shù)與0的大小，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性，即可得到答案．
（II）由f（1）=1-a得，顯然a＜1時(shí)，f（x）≤0不恒成立．當(dāng)a≥0時(shí)，由f′（x₂）=0可得，所以f（x₂）=lnx₂-，結(jié)合題意可得x₂≤1，所以f（x）≤f（x₂）利用放縮進(jìn)而得到答案．
點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．