Question

已知函數(shù)f（x）=+ax²+（1-b²）x，m，a，b∈R．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，若函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，求a²+b²+2a+4b的最大值；
（2）當(dāng)a=1，b=時(shí)，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=，∴f^′（x）=x²+2ax+1-b²．
∵函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，∴f^′（x）=x²+2ax+1-b²≥0（不恒為0）在R上恒成立，∴△=4a²-4（1-b²）≤0，化為a²+b²≤1．
a²+b²+2a+4b=（a+1）²+（b+2）²-5，
而表示的是點(diǎn)P（-1，-2）到圓面a²+b²≤1上的任意一點(diǎn)的距離，∵點(diǎn)P到此圓面的最大距離為|OP|+r=+1=，
∴a²+b²+2a+4b的最大值==1+2．
（2）當(dāng)a=1，b=時(shí)，f（x）=，∴f^′（x）=mx²+2x-1．
由“函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間”其反面是“函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減或恒為常數(shù)”，
先考慮其反面：①無(wú)論m什么實(shí)數(shù)，f（x）不可能為常數(shù)．
②若函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減，則f^′（x）≤0（不恒為0）恒成立．
∴必有或．
當(dāng)m=0時(shí)，不滿足題意，應(yīng)舍去；
由解得m≤-1，其補(bǔ)集為m＞-1．
故當(dāng)m＞-1時(shí)，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間．
分析：（1）通過(guò)求導(dǎo)，利用函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，得出a、b滿足的條件，把要求化為a²+b²+2a+4b=（a+1）²+（b+2）²-5，而表示的是點(diǎn)P（-1，-2）到a、b滿足的區(qū)域上的點(diǎn)的距離，先求出其最大值，進(jìn)而即可得出答案；
（2）由“函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間”，可先考慮其反面是“函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減或恒為常數(shù)”，得出m的取值范圍，進(jìn)而即可得出答案．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用研究函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)形結(jié)合求最值、“三個(gè)二次”的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．在直接解決問(wèn)題不好考慮的情況下要善于通過(guò)反面問(wèn)題的解決的方法解決問(wèn)題．