Question

11．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=2，S₅=30，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且T_n=2ⁿ-1．
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（II）設(shè)c_n=lnb_n+（-1）ⁿlnS_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和M_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列的前n項和，求出公差，然后求數(shù)列{a_n}，利用求和公式，轉(zhuǎn)化求解{b_n}的通項公式；
（II）化簡c_n=lnb_n+（-1）ⁿlnS_n，然后求解數(shù)列{c_n}的前n項和M_n．

解答 解：（Ⅰ）∵{a_n}是等差數(shù)列，∴${S_5}=5{a_1}+\frac{5×4}{2}d⇒30=5×2+10d⇒d=2$，
∴a_n=2n…（3分）
數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且${T_n}={2^n}-1$，
∴b₁=1，n≥2時${b_n}={T_n}-{T_{n-1}}={2^{n-1}}$，
∴${b_n}={2^{n-1}}（n∈{N^*}）$…（6分）
（Ⅱ）${S_n}=2•\frac{n（n+1）}{2}=n（n+1）$…（7分）
${c_n}=ln{b_n}+{（-1）^n}ln{S_n}=ln（{2^{n-1}}）+{（-1）^n}ln[n（n+1）]$=（n-1）ln2+（-1）ⁿ[lnn+ln（n+1）]…（8分）
∴${M_n}=ln2×[0+1+2+…+（n-1）]+{N_n}=\frac{n（n-1）}{2}ln2+{N_n}$
其中${N_n}=-（ln1+ln2）+（ln2+ln3）-（ln3+ln4）+…+{（-1）^n}[lnn+ln（n+1）]$=（-1）ⁿln（n+1）…（10分）∴${M_n}=\frac{n（n-1）}{2}ln2+{（-1）^n}ln（n+1）$…（12分）

點評 本題考查數(shù)列求和等差數(shù)列和的應(yīng)用，數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．