Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+a²x+2b-a³，當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）時(shí)，f（x）＜0，當(dāng)∈（-2，6）時(shí)，f（x）＞0．
（1）求a、b的值；
（2）設(shè)F（x）=-

k

4

f（x）+4（k+1）x+2（6k-1），則當(dāng)k取何值時(shí)，函數(shù)F（x）的值恒為負(fù)數(shù)？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得，-2和6是方程ax²+a²x+2b-a³=0的兩個(gè)根，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得a、b的值．
（2）要使F（x）的值恒為負(fù)數(shù)，即kx²-2kx+（k+2）＜0恒成立，分k=0和k≠0兩種情況，分別求得 k的取值范圍，再取并集，即得所求．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²+a²x+2b-a³，當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）時(shí)，f（x）＜0；
當(dāng)x∈（-2，6）時(shí)，f（x）＞0，
故-2和6是方程ax²+a²x+2b-a³=0的兩個(gè)根，
∴

-2+6=-a -2×6= 2b-a3 a

，
解得

a=-4 b=-8

，
∴f（x）=-4x²+16x+48．
②∵F（x）=-

k

4

f（x）+2kx+13k-2=kx²-2kx-（k+2），要使F（x）的值恒為負(fù)數(shù)，
即kx²-2kx+（k-2）＜0恒成立，
當(dāng)k=0時(shí)，不等式化為-2＜0，符合題意．
當(dāng)k≠0時(shí)，由

k＜0 △=(-2k)2-4k(k-2)＜0

，
解得k＜0．
綜上可得，k≤0，
即k的取值范圍為（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的恒成立問題，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．