設(shè)x∈N+時(shí)f（x）∈N+，對(duì)任何n∈N+有f（n+1）＞f（n）且f（f（n））=3n，
（1）求f（1）；
（2）求f（6）+f（7）；
（3）求f（2012）．
解：（1）∵f（f（n））=3n，
∴f（f（1））=3，
若f（1）=1，則f（f（1））=f（1）=3，與f（1）=1矛盾
故f（1）≠1
∵f（x）∈N*
∴f（1）≥2
∵f（x）在大于0上是單調(diào)增函數(shù)
∴f（2）≤f（f（1））=3
又由f（2）＞f（1）≥2，
可得2≤f（1）＜f（2）≤3
故f（1）=2，f（2）=3
（2）因?yàn)?f（3）=f（f（2））=6，
f（6）=f（f（3））=9，
且f（3）＜f（4）＜f（5）＜f（6）
所以f（4）=7，f（5）=8，
所以f（4）+f（5）=7+8=15
（3）f（9）=f（f（6））=18
f（18）=f（f（9））=27---且f（k）=k+9…9≤k≤18
f（27）=f（f（18））=54
f（54）=f（f（27））=81---且f（k）=k+27…27≤k≤54
f（81）=f（f（54））=162
f（162）=f（f（81））=243---且f（k）=k+81…81≤k≤162
f（243）=f（f（162））=486
f（486）=f（f（243））=729---且f（k）=k+243…243≤k≤486
f（729）=f（f（486））=1458
f（1458）=f（f（729））=2187---且f（k）=k+729…729≤k≤1458
所以 f（2012-729）=2012
所以f（2012）=f（f（2012-729））=3（2012-729）=3849
分析：（1）由f（f（n））=3n，可得f（1）≠1，由f（x）∈N*，且f（n+1）＞f（n），可得f（1）≥2，進(jìn)而可得f（2）≤f（f（1））=3，f（2）＞f（1）≥2，進(jìn)而得到答案．
（2）由（1）中結(jié)論，可得f（3）=f（f（2））=6，f（6）=f（f（3））=9，結(jié)合f（x）∈N*，且f（n+1）＞f（n），可得f（4）=7，進(jìn)而f（7）=f（f（4））=12，代入可得答案．
（3）由（1）（2）類推可得：f（9）=f（f（6））=18，f（18）=f（f（9））=27，且f（k）=k+9…9≤k≤18，f（27）=f（f（18））=54，f（54）=f（f（27））=81，且f（k）=k+27…27≤k≤54…f（1458）=f（f（729））=2187，且f（k）=k+729…729≤k≤1458，且 f（2012-729）=2012，代入可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)的函數(shù)值，正確理解f（x）∈N*，且f（n+1）＞f（n）的含義，并由此類推出各段函數(shù)值是解答的關(guān)鍵．
