Question

（2013•溫州二模）己知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線x2-

y2

b2

=1的左、右焦點，A是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點，若|AF₂|=2且∠F₁AF₂=45°．廷長AF₂交雙曲線右支于點B，則△F₁AB及的面積等于

4

．

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線的定義，得|AF₁|-|AF₂|=2a=2，△AF₁F₂中根據(jù)余弦定理算出|F1F2|2，從而得到c2=5-2

2

．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由直線AB方程與雙曲線方程聯(lián)解，算出|y₂|=（

2

-1）y₁，得到△BF₁F₂與△AF₁F₂的面積之比等于

2

-1，結(jié)合△AF₁F₂的面積為

b2

tan22.5°

=2

2

得到△BF₁F₂的面積等于4-2

2

，再兩個三角形的面積相加，即可得到△F₁AB及的面積．

解答：解：如圖所示，由雙曲線的方程可知：a=1．
∴|AF₁|-|AF₂|=2，
∵|AF₂|=2，∴|AF₁|=4．
∴|F1F2|2=（2c）²=4²+2²-2×4×2×cos45°，化為c2=5-2

2

，
∴b2=c2-1=4-2

2

，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則

(x1-c)2+ y 2 1 =2 b2 x 2 1 - y 2 1 =b2

，化為c2

x

2 1

-2cx1-3=0．
解得x1=

3

c

，x1=-

1

c

（舍去）．
由此解出A的坐標為（

3

c

，

4-( 3 c -c)2

），
設直線AB方程為x=my+c，與雙曲線x2-

y2

b2

=1聯(lián)解，可得(m2-

1

b2

)y2+2cmy+b2=0
由根與系數(shù)的關(guān)系，得到

y1+y2= 2cm 1 b2 -m2 y 1y2= b2 m2- 1 b2

，結(jié)合y₁=

4-( 3 c -c)2

化簡得到|y₂|=（

2

-1）y₁
∴

S△BF1F2

S△AF1F2

=|

y2

y1

|=

2

-1
∵雙曲線中，△AF₁F₂的面積S △AF 1F2=

b2

tan22.5°

=

4-2 2

2 -1

=2

2

∴△BF₁F₂的面積S △BF 1F2=（

2

-1）S △AF 1F2=4-2

2

由此可得△F₁AB及的面積S=S △AF 1F2+S △BF 1F2=4
故答案為：4

點評：本題給出雙曲線的焦點三角形△AF₁F₂的兩邊之長和夾角，求△F₁AB及的面積．著重考查了雙曲線的定義與標準方程、直線與圓錐曲線位置關(guān)系和三角形的面積公式等知識點，屬于中檔題．