Question

設(shè)集合W是滿足下列兩個條件的無窮數(shù)列{a_n}的集合：①對任意n∈N⁺，≤a_n+1，恒成立；②對任意n∈N⁺，存在與n無關(guān)的常數(shù)M，使a_n≤M恒成立．
（Ⅰ）若{a_n}是等差數(shù)列，S_n是其前n項的和，且a₃=4，S₃=18，試探究數(shù)列{S_n}與集合W之間的關(guān)系；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=5n-2ⁿ，且{b_n}∈W，求M的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差是d，則
，解得，（2分）
∴S_n=na₁+d=-n²+9n，
∴-S_n+1====-1＜0
∴得＜S_n+1，適合條件①．（5分）
又S_n=-n²+9n=-+，
∴所以當(dāng)n=4或n=5時，S_n取得最大值20，即S_n≤20，適合條件②．（7分）
綜上，{S_n}∈W．（8分）
（Ⅱ）∵=5（n+1）-2ⁿ⁺¹-5n+=5-2ⁿ，
∴當(dāng)n≥3時，b_n+1-b_n＜0，此時數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減；（11分）
當(dāng)n=1，2時，b_n+1-b_n＞0，即b₁＜b₂＜b₃，（12分）
因此數(shù)列{b_n}中的最大項是b₃=7，（13分）
∴M≥7，即M的取值范圍是[7，+∞）．（14分）
分析：（Ⅰ）首先由已知a₃=4，S₃=18再根據(jù)a_n=a₁+（n-1）d，可求出a₁、d及S_n，然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求出s_n，比較得的正負(fù)，看是否符合條件①；再由S_n的公式判斷是否符合條件②；若都否和，則{S_n}∈W．
（Ⅱ）首先根據(jù)已知條件{b_n}∈W知{b_n}符合條件②，故必須求出{b_n}的最大值，因而由b_n+1-b_n=5（n+1）-2n+1-5n+=5-2n，當(dāng)n≥3時，b_n+1-b_n＜0，此時數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減，當(dāng)n=1，2時，b_n+1-b_n＞0，b₁＜b₂＜b₃，因此可以得出數(shù)列{b_n}中的最大項是b₃=7，進而可知M≥7．
點評：本題主要考等差數(shù)列的公式及等差數(shù)列和的公式的應(yīng)用以及集合之間的關(guān)系和最值問題，屬于中檔題．