Question

14．已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上．且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，2），
（1）求拋物線C的方程；
（2）若動(dòng)直線l過(guò)點(diǎn)P（3，0），交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，是否存在垂直于x軸的直線l'被以AP為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？若存在，求出l'的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px，由曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），得p=2，即可求解；
（2）由題意可得，AP的中點(diǎn)為C，設(shè)A（x₁，y₁），則C（$\frac{{x}_{1}+3}{2}$，$\frac{{y}_{1}}{2}$）．設(shè)D、E是圓C上的兩個(gè)點(diǎn)，且DE垂直于x軸，DE的中點(diǎn)為H，點(diǎn)D（x₂，y₂），則H（x₂，y₃），求得|DC|和|CH|、|DH|²，可得當(dāng)x₂=2時(shí)，|DH|²=2，故弦長(zhǎng)為|DE|=2|DH|=2 $\sqrt{2}$為定值，由此可得結(jié)論

解答 解：（1）由題意，可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px，
因?yàn)榍�線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），所以p=2，
所以拋物線C的方程為y²=4x，
（2）由題意可得，AP的中點(diǎn)為C，設(shè)A（x₁，y₁），則C（$\frac{{x}_{1}+3}{2}$，$\frac{{y}_{1}}{2}$）．
設(shè)D、E是圓C上的兩個(gè)點(diǎn)，且DE垂直于x軸，DE的中點(diǎn)為H，點(diǎn)D（x₂，y₂），則H（x₂，y₃），
∴|DC|=$\frac{1}{2}$|AP|=$\frac{1}{2}\sqrt{（{x}_{1}-3）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$，|CH|=|$\frac{{x}_{1}+3}{2}-{x}_{2}$|=$\frac{1}{2}$|x₁-2x₂+3|，|DH|²=|DC|²-|HC|²=（x₂-2）x₁-x${{\;}_{2}}^{2}$+3x₂
由x₁的任意性可得，當(dāng)x₂=2時(shí)，|DH|²=-4+6=2，故弦長(zhǎng)為|DE|=2|DH|=2$\sqrt{2}$ 為定值．
故存在垂直于x軸的直線l（即直線DE），倍圓截得的弦長(zhǎng)為定值，直線l的方程為 x=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用待定系數(shù)法求拋物線和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓相交的性質(zhì)，屬于中檔題．