Question

設(shè)f（x）、g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（-1）=0，則不等式f（x）•g（x）＞0的解集是

 

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Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)m（x）=f（x）•g（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，判斷函數(shù)m（x）的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)m（x）=f（x）•g（x），
∵x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，
即[f（x）g（x）]′＞0
故m（x）在x＜0時遞增，
∵f（x）、g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，
∴m（x）=f（x）g（x）是R上的奇函數(shù)，
∴m（x）的圖象關(guān)于原點對稱，
即m（x）在x＞0時也是增函數(shù)．
∵g（-1）=0，∴g（1）=0，
∴m（-1）=0且m（1）=0，則函數(shù)m（x）對應(yīng)的草圖為
則m（x）＞0的解集為：x＞1或-1＜x＜0．
故不等式的解集為{x|x＞1或-1＜x＜0}，
故答案為：{x|x＞1或-1＜x＜0}

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的運算，不等式的解法等，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可以確定函數(shù)的單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解題．屬于中檔題．