Question

（本小題共13分）
已知集合對(duì)于，，定義A與B的差為

A與B之間的距離為
（Ⅰ）證明：，且;
（Ⅱ）證明：三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)
(Ⅲ) 設(shè)P，P中有m(m≥2)個(gè)元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為(P).
證明：（P）≤.
（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效）

Answer 1

（I）見(jiàn)解析（II）見(jiàn)解析(III)見(jiàn)解析

證明：（I）設(shè)，，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823143335787203.gif" style="vertical-align:middle;" />，，所以, 
從而
又
由題意知，，.
當(dāng)時(shí)，;
當(dāng)時(shí)，
所以
(II)設(shè)，，
，，.
記，由（I）可知



所以中1的個(gè)數(shù)為，的1的
個(gè)數(shù)為。
設(shè)是使成立的的個(gè)數(shù)，則
由此可知，三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù)，
即,,三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)。
（III）,其中表示中所有兩個(gè)元素間距離的總和，
設(shè)種所有元素的第個(gè)位置的數(shù)字中共有個(gè)1，個(gè)0
則=
由于
所以
從而