已知是拋物線上的兩個點，點的坐標為，直線的斜率為k， 為坐標原點.

（Ⅰ）若拋物線的焦點在直線的下方，求k的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)C為W上一點，且，過兩點分別作W的切線，記兩切線的交點為，求的最小值.

 

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）直線過點，且斜率為k，所以直線方程可設(shè)為，若焦點在直線的下方，則滿足不等式，代入求的范圍；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，，分別與拋物線聯(lián)立，因為直線和拋物線的一個交點坐標已知，故可利用韋達定理求出切點的坐標，再求出切線和的方程，進而聯(lián)立求交點的坐標，再求的最小值即可.

試題解析：（Ⅰ）解：拋物線的焦點為. 由題意，得直線的方程為，

令 ，得，即直線與y軸相交于點. 因為拋物線的焦點在直線的下方，

所以 ，解得 .

（Ⅱ）解：由題意，設(shè)，，，

聯(lián)立方程 消去，得， 由韋達定理，得，所以 .

同理，得的方程為，. 對函數(shù)求導，得，

所以拋物線在點處的切線斜率為，所以切線的方程為， 即. 同理，拋物線在點處的切線的方程為.聯(lián)立兩條切線的方程解得，，所以點的坐標為. 因此點在定直線上. 因為點到直線的距離，所以，當且僅當點時等號成立． 由，得，驗證知符合題意.所以當時，有最小值.

考點：1、直線的方程；2、直線和拋物線的位置關(guān)系；3、導數(shù)的幾何意義.

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點C為拋物線y2=2px（p＞0）的準線與x軸的交點，點F為焦點，點A、B是拋物線上的兩個點．若
.
FA
+
.
FB
+2
.
FC
=
.
0
，則向量
.
FA
與
.
FB
的夾角為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)A和B是拋物線上的兩個動點，且在A和B處的拋物線切線相互垂直，已知由A、B及拋物線的頂點所成的三角形重心的軌跡也是一拋物線，記為L1．對L1重復以上過程，又得一拋物線L2，余類推．設(shè)如此得到拋物線的序列為L1，L2，…，Ln，若拋物線的方程為y2=6x，經(jīng)專家計算得，L1：y2=2（x-1），L2：y2=
2
3
(x-1-
1
3
)=
2
3
(x-
4
3
)，L3：y2=
2
9
(x-1-
1
3
-
1
9
)=
2
9
(x-
13
9
)，…，Ln：y2=
2
Sn
(x-
Tn
Sn
)．   則2Tn-3Sn=
-1
-1
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年北京市西城區(qū)高三上學期期末考試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知是拋物線上的兩個點，點的坐標為，直線的斜率為.設(shè)拋物線的焦點在直線的下方.

（Ⅰ）求k的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)C為W上一點，且，過兩點分別作W的切線，記兩切線的交點為. 判斷四邊形是否為梯形，并說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆浙江省高二下學期期中文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

設(shè)A和B是拋物線上的兩個動點,且在A和B處的拋物線切線相互垂直, 已知由A、B 及拋物線的頂點P所成的三角形重心的軌跡也是一拋物線, 記為L1．對重復以上過程，又得一拋物線L2，以此類推．設(shè)如此得到拋物線的序列為L1,L2,…, Ln，若拋物線的方程為，經(jīng)專家計算得，

 ，

 ，

 ，

 

 ．

    則=       ．

 

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