Question

已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4，直線l₁過定點(diǎn)A（1，0）．
（Ⅰ）若l₁與圓相切，求l₁的方程；
（Ⅱ）若l₁與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，又l₁與l₂：x+2y+2=0的交點(diǎn)為N，求證：AM•AN為定值．

Answer 1

分析：（I）由直線l₁與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，求得直線方程，注意分類討論；
（II）分別聯(lián)立相應(yīng)方程，求得M，N的坐標(biāo)，再求AM•AN．

解答：解：（Ⅰ）①若直線l₁的斜率不存在，即直線x=1，符合題意．（2分）
②若直線l₁斜率存在，設(shè)直線l₁為y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由題意知，圓心（3，4）到已知直線l₁的距離等于半徑2，
即

|3k-4-k|

k2+1

=2解之得k=

3

4

．
所求直線方程是x=1，3x-4y-3=0．（5分）
（Ⅱ）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設(shè)直線方程為kx-y-k=0
由

x+2y+2=0 kx-y-k=0

得N(

2k-2

2k+1

，-

3k

2k+1

)又直線CM與l₁垂直，

y=kx-k y-4=- 1 k (x-3)

得M(

k2+4k+3

1+k2

，

4k2+2k

1+k2

)．

∴AM*AN=

2 |2k+1|

1+k2

1+k2

•

3 1+k2

|2k+1|

=6為定值．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系以及直線與直線的交點(diǎn)和兩點(diǎn)間的距離公式．