已知函數(shù)f(x)=
a•ex
x
(a∈R,a≠0).
(Ⅰ)當a=1時,求曲線f(x)在點(1,f(1))處切線的方程;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅲ)當x∈(0,+∞)時,若f(x)≥1恒成立,求a的取值范圍.
考點:利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值
專題:導數(shù)的綜合應用
分析:(Ⅰ)求出原函數(shù)的導函數(shù),代入a=1,求得f'(1),再求出f(1)的值,利用直線方程的點斜式求曲線
f(x)在點(1,f(1))處切線的方程;
(Ⅱ)由(Ⅰ)中求出的f′(x),然后對a進行分類討論,根據a>0和a<0分別求出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間;
(Ⅲ)當x∈(0,+∞)時,f(x)≥1恒成立,等價于a≥
x
ex
在x∈(0,+∞)時恒成立.構造輔助函數(shù)
g(x)=
x
ex
,由導數(shù)求出函數(shù)g(x)的最大值,則a的取值范圍可求.
解答: 解:(Ⅰ)由f(x)=
a•ex
x
,得:
f′(x)=
ax•ex-aex
x2
=
aex(x-1)
x2
,x≠0.
當a=1時,f′(x)=
ex(x-1)
x2

依題意f'(1)=0,即在x=1處切線的斜率為0.
把x=1代入f(x)=
ex
x
中,得f(1)=e.
則曲線f(x)在x=1處切線的方程為y=e.

(Ⅱ)函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0}.
由于f′(x)=
ax•ex-aex
x2
=
aex(x-1)
x2

①若a>0,
當x>1時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)為增函數(shù);
當x<0和0<x<1時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)為減函數(shù).
②若a<0,
當x<0和0<x<1時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)為增函數(shù);
當x>1時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)為減函數(shù).
綜上所述,a>0時,函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為(1,+∞);單調減區(qū)間為(-∞,0),(0,1).
a<0時,函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為(-∞,0),(0,1);單調減區(qū)間為(1,+∞).

(Ⅲ)當x∈(0,+∞)時,要使f(x)=
a•ex
x
≥1
恒成立,
即使a≥
x
ex
在x∈(0,+∞)時恒成立.
g(x)=
x
ex
,則g′(x)=
1-x
ex

可知在0<x<1時,g′(x)>0,g(x)為增函數(shù);
x>1時,g′(x)<0,g(x)為減函數(shù).
g(x)max=g(1)=
1
e

從而a≥
1
e
點評:本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程,考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,訓練了利用分離變量法求參數(shù)的取值范圍,構造函數(shù)并用導數(shù)求其最值是解答(Ⅲ)的關鍵,是壓軸題.
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如圖A、B、C、D是某油田的四口油井,計劃建三條路,將這四口油井連結起來(每條路只連結兩口油井),那么不同的建路方案有(  )
A、12種B、14種
C、16種D、18種

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在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a+c=
2
b.
(1)求證:B≤
π
2
;
(2)當
AB
BC
=-2,b=2
3
時,求△ABC的面積.

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已知函數(shù)f(x)=ex,g(x)=ax2(a∈R,a≠0).
(1)求函數(shù)y=
g(x)
f(x)
的單調區(qū)間;
(2)①已知A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)為函數(shù)y=g(x)圖象上的兩點,y=g′(x)為y=g(x)的導函數(shù),若g′(x0)=
y1-y2
x1-x2
,求證:x0∈(x1,x2);
②類比函數(shù)y=g(x),①中的結論在函數(shù)y=f(x)中是否成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.

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在數(shù)列{an}中,已知a1=1,a2=3,設Sn為數(shù)列{an}的前n項和,對于任意的n≥2,n∈N,Sn+1+Sn-1=2(Sn+1)都成立.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設Tn為數(shù)列{
1
anan+1
}
的前n項和,若Tn≤λan+1對n∈N*恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍.

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已知f(x)=cos(2x+
π
3
)+1-2cos2x.
(1)求函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且a=1,b+c=2,f(A)=-
1
2
,求△ABC的面積.

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由兩個四棱錐組合而成的空間幾何體的三視圖如圖所示,其體積是
 
;表面積是
 

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y=
3x+1
x+2
的漸近線方程為
 

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下列命題中的真命題是( 。
①若命題p:?x<0,x≥sinx,命題q:函數(shù)f(x)=x2-2x僅有兩個零點,則命題¬p∨q為真命題;
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③若a,b∈[0,1],則使不等式a+b<
1
2
成立的概率是
1
4
A、①②B、??①③
C、?②D、??②③

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