Question

11．設(shè)x₁，x₂是方程x²-mx+（m-2）²=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．求|x₁-x₂|的取值范圍．

Answer 1

分析 由△≥0求出m的范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出|x₁-x₂|²的關(guān)系，進(jìn)而得出|x₁-x₂|的范圍．

解答 解∵方程x²-mx+（m-2）²=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴△=m²-4（m-2）²≥0，解得$\frac{4}{3}$≤m≤4．
∵x₁+x₂=m，x₁x₂=（m-2）²，∴|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=m²-4（m-2）²=-3m²+16m-16=-3（m-$\frac{8}{3}$）²+$\frac{16}{3}$．
∵$\frac{4}{3}$≤m≤4，∴當(dāng)m=$\frac{8}{3}$時(shí)，|x₁-x₂|²取得最大值$\frac{16}{3}$，當(dāng)m=4時(shí)，|x₁-x₂|²取得最小值0．
∴0≤|x₁-x₂|²≤$\frac{16}{3}$．∴0≤|x₁-x₂|≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴|x₁-x₂|的取值范圍時(shí)[0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的根的個(gè)數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次函數(shù)的最值，屬于中檔題．