Question

設函數f（x）=（1+x）²-21n（1+x）．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）試討論關于x的方程：f（x）=x²+x+a在區(qū)間[0，2]上的根的個數．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,根的存在性及根的個數判斷

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求函數的導數，即可求f（x）的單調區(qū)間；
（2）利用參數分離法，轉化為a=1+x-21n（1+x），然后利用導數求出g（x）=1+x-21n（1+x）在區(qū)間[0，2]上的極值和最值即可得到結論．

解答： 解：（1）函數的定義域為（-1，+∞），
則函數的導數f′（x）=2（x+1）-

2

1+x

=

2x(x+2)

x+1

，
若f′（x）＞0，則x＞0，此時函數單調遞增，
若f′（x）＜0，則-1＜x＜0，此時函數單調遞減，
即f（x）的單調增區(qū)間為（0，+∞）；
f（x）的單調減區(qū)間為（-1，0）；
（2）由f（x）=x²+x+a，
得（1+x）²-21n（1+x）=x²+x+a，
則a=1+x-21n（1+x），
設g（x）=1+x-21n（1+x），
則g′（x）=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

，
當1＜x＜2時，g′（x）＞0，此時函數g（x）單調遞增，
當0＜x＜1時，g′（x）＜0，此時函數g（x）單調遞減，
即當x=1時，函數g（x）取得極小值，同時也是最小值g（1）=2-2ln2，
∵g（0）=1，g（2）=3-2ln3＜1，
∴若a＜2-2ln2，則方程a=1+x-21n（1+x）在區(qū)間[0，2]無解，
若a=2-2ln2，則方程a=1+x-21n（1+x）在區(qū)間[0，2]有1解，
若2-2ln2＜a≤3-2ln3，則方程a=1+x-21n（1+x）在區(qū)間[0，2]有2解，
若3-2ln3＜a≤1，則方程a=1+x-21n（1+x）在區(qū)間[0，2]有1解，
若a＞1則方程a=1+x-21n（1+x）在區(qū)間[0，2]無解．

點評：本題主要考查函數的單調性和導數的關系，以及方程根的個數的判斷，考查學生的推理能力．