已知雙曲線的中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點（4，-）（1）求雙曲線的方程.（2）若點M(3,m)在雙曲線上，求證：.（3）若點A,B在雙曲線上，點N(3,1)恰好是AB的中點，求直線AB的方程(12分)

 

【答案】

（1） .（2）。

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)離心率為,可知雙曲線為等軸雙曲線,可設(shè)雙曲線的方程為,再根據(jù)它過點（4，-）代入雙曲線方程求出參數(shù)值，方程確定.

(2)根據(jù)點M(3,m)在雙曲線上,可求出m值，然后求出,從而得到.

(3)因為N（3，1）為弦AB的中點，可利用點差法求得直線的斜率，進(jìn)而寫出點斜式方程.

（1） ∵離心率為，∴雙曲線為等軸雙曲線.∵雙曲線的中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上∴設(shè)雙曲線的方程為，，

∵點（4，-）在雙曲線上∴，∴雙曲線的方程為，.（2）∵M(jìn)(3,m)在雙曲線上，∴，∵，，∴

∴∴.（3）∵點N(3,1)恰好是弦AB的中點∴有點差法易得，∴直線AB的方程為

∴

考點：雙曲線的方程及和性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系.

點評：當(dāng)知道弦中點時，可利用點差法求得弦所在直線的斜率，寫出點斜式方程再化成一般式方程即可.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為
2
，且過點(4，-
10
)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是
x2-y2=6
x2-y2=6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點，焦點為F1（5，0），F(xiàn)2（-5，0），且過點（3，0），
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）求雙曲線的離心率及準(zhǔn)線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，一條漸近線方程為y=x，且過點(4，-
10
)．
（1）求雙曲線方程；
（2）設(shè)A點坐標(biāo)為（0，2），求雙曲線上距點A最近的點P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，一條漸近線方程為y=x，且過點(4，-
10
)，A點坐標(biāo)為（0，2），則雙曲線上距點A距離最短的點的坐標(biāo)是
(±
7
，1)
(±
7
，1)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•豐臺區(qū)一模）已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，一條漸近線方程為y=
3
4
x，則該雙曲線的離心率是
5
4
5
4
．

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