Question

設函數f（x）=xe^kx（k≠0）．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）若函數f（x）在區(qū)間（-1，1）內單調遞增，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在x=0處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）先求出f（x）的導數，根據f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調減區(qū)間即可；
（III）由（Ⅱ）知，若k＞0，則當且僅當-≤-1時，函數f（x）（-1，1）內單調遞增，若k＜0，則當且僅當-≥1時，函數f（x）（-1，1）內單調遞增，由此即可求k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=（1+kx）e^kx，f′（0）=1，f（0）=0，
曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=x；
（Ⅱ）由f′（x）=（1+kx）e^kx=0，得x=-（k≠0），
若k＞0，則當x∈（-∞，-）時，
f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，
當x∈（-，+∞，）時，f′（x）＞0，
函數f（x）單調遞增，
若k＜0，則當x∈（-∞，-）時，
f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，
當x∈（-，+∞，）時，
f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k＞0，則當且僅當-≤-1，
即k≤1時，函數f（x）（-1，1）內單調遞增，
若k＜0，則當且僅當-≥1，
即k≥-1時，函數f（x）（-1，1）內單調遞增，
綜上可知，函數f（x）（-1，1）內單調遞增時，
k的取值范圍是[-1，0）∪（0，1]．
點評：本小題主要考查直線的斜率、利用導數研究函數的單調性、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力以及分類討論思想．屬于基礎題．