Question

16、在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是菱形，△SBC，△SDC為正三角形，E為側(cè)棱SC上一點(diǎn)．
（1）當(dāng)E為側(cè)棱SC的中點(diǎn)時，求證：SA∥平面BDE；
（2）求證：平面BDE⊥平面SAC．

Answer 1

分析： 對于（1）要證明SA∥平面BDE，只需證明SA平行于平面BDE內(nèi)的一條直線即可，而E為中點(diǎn)，所以連接AC、BD交于點(diǎn)O．由條件知道O為AC中點(diǎn)，從而EO為三角形SAC的中位線，從而得到
SA∥OE，得證；對于（2）由，△SBC，△SDC為正三角形，可以得到SDB為等腰三角形，O為底邊BD中點(diǎn)，易得SO⊥BD，又由條件知道BD⊥AC，從而可以證明BD⊥平面SAC，從而得證．

解答：證明：（1）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，
又E為SC的中點(diǎn)，所以，OE為三角形SAC的中位線，所以SA∥OE，又OE?面BDE，
SA?面BDE，所以，SA∥平面BDE；
（2）連接SO，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以BD⊥AC，且O是BD的中點(diǎn)，所以BC=CD，
又，△SBC，△SDC為正三角形，所以，SB=BC=CD=SD，故SB=SD，所以BD⊥SO
又SO∩AC=O，SO，AO?平面SAC，所以BD⊥平面SAC，又BD?平面BDE，所以有：
平面BDE⊥平面SAC．

點(diǎn)評：本題考查線面平行的判定、面面垂直的判定，要注意期中的轉(zhuǎn)化思想，即將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行、將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直問題解決．