Question

已知向量

m

=（cosx+sinx，2cosx），

n

=（cosx-sinx，-sinx）．
（1）求f（x）=

m

•

n

的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

8

個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f（

A

2

）=0，g（B）=

2

2

，b=2，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）向量

m

=（cosx+sinx，2cosx），

n

=（cosx-sinx，-sinx）．f（x）=

m

•

n

=COS2x-sin2x=

2

sin（2x+

3π

4

），運(yùn)用三角函數(shù)的圖象的性質(zhì)求解．
（2）利用函數(shù)圖象平移求出g（x）解析式，代入利用已知條件求解．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（cosx+sinx，2cosx），

n

=（cosx-sinx，-sinx）．f（x）=

m

•

n

=COS2x-sin2x=

2

sin（2x+

3π

4

），
∴函數(shù)的周期為

2π

2

=π，
∵2kπ+

π

2

≤2x+

3π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈z，∴kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈z，
所以函數(shù)的周期為

2π

2

=π，[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈z

（2）∵將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

8

個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，
∴g（x）=

2

cosx，∵f（

A

2

）=0，g（B）=

2

2

，b=2，∴

2

sin（A+

3π

4

）=0，

2

COSB=

2

2

，
∵在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，
∴A=

π

4

，B=

π

3

∵，b=2∴

a

sinA

=

b

sinB

得：

a

2 2

=

2

3 2

，即a=

2 6

3

，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用，結(jié)合正弦定理，三角函數(shù)的圖象性質(zhì)解決問題．