Question

9．已知f（x）=ln x，g（x）=x²-2ax+4a-1，其中a為實(shí)常數(shù)．
（1）若函數(shù)f[g（x）]在區(qū)間[1，3]上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)g[f（x）]在區(qū)間[1，e³]上的最小值為-2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）=ln x為增函數(shù)，當(dāng)x∈[1，3]時，g（x）為單調(diào)函數(shù)，①若g（x）在[1，3]上為增函數(shù)，②若g（x）在[1，3]上為減函數(shù)，求解a的取值范圍．
（2）化簡g[f（x）]=ln²x-2aln x+4a-1．令t=ln x，h（t）=t²-2at+4a-1=（t-a）²-a²+4a-1．當(dāng)x∈[1，e³]時，t∈[0，3]，通過①若a＜0，②若0≤a≤3，③若a＞3，利用核對的最小值，轉(zhuǎn)化求解a即可．

解答 解：（1）因為f（x）=lnx為增函數(shù)，則當(dāng)x∈[1，3]時，g（x）為單調(diào)函數(shù)，且g（x）＞0．（1分）
①若g（x）在[1，3]上為增函數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}a≤1\\ g（1）=2a＞0\end{array}$，得0＜a≤1．（3分）
②若g（x）在[1，3]上為減函數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}a≥3\\ g（3）=8-2a＞0\end{array}$，得3≤a＜4．（5分）
綜上，a的取值范圍是（0，1]∪[3，4）．（6分）
（2）由已知，g[f（x）]=ln²x-2aln x+4a-1．
令t=ln x，h（t）=t²-2at+4a-1=（t-a）²-a²+4a-1．當(dāng)x∈[1，e³]時，t∈[0，3]．（8分）
①若a＜0，則h（t）在[0，3]上為增函數(shù)，h（t）_min=h（0）=4a-1．
令4a-1=-2，得a=-$\frac{1}{4}$．（9分）
②若0≤a≤3，則h（t）_min=h（a）=-a²+4a-1．
令-a²+4a-1=-2，則a²-4a-1=0，解得a=2±$\sqrt{5}$∉[0，3]，不合要求．（10分）
③若a＞3，則h（t）在[0，3]上為減函數(shù)，h（t）_min=h（3）=8-2a．
令8-2a=-2，得a=5．（11分）
綜上，a=-$\frac{1}{4}$或a=5．（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法．換元法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．