Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，求△POQ的面積；
（3）若以O(shè)P，OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形，求滿(mǎn)足該條件的直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，設(shè)出橢圓的方程，分析可得橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率，可得a、c的值，進(jìn)而可得b的值，代入所設(shè)的橢圓方程即可得答案；
（2）根據(jù)題意，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立兩者方程即，可得3y²+2y-1=0，解得；由三角形面積公式，計(jì)算可得答案；
（3）根據(jù)題意，分情況討論，①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易得其不合題意，②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）．聯(lián)立，可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0；表示出兩根之和、之積；又由y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）；可得
根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算，可得k²=2，可得k的值，進(jìn)而可得直線的方程．
解答：解：（1）由已知，橢圓方程可設(shè)為．
∵長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率，
∴．
所求橢圓方程為．
（2）因?yàn)橹本�l過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F（1，0），且斜率為1，所以直線l的方程為y=x-1．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由得3y²+2y-1=0，解得．
∴．
（3）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l的方程為x=1，此時(shí)∠POQ小于90°，OP，OQ為鄰邊的平行四邊形不可能是矩形．
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）．
由可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴．
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）
∴
因?yàn)橐設(shè)P，OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形．
由得k²=2，
∴．
∴所求直線的方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題是支撐圓錐曲線知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容，問(wèn)題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運(yùn)算量繁簡(jiǎn)差別很大，故此類(lèi)問(wèn)題能有效地考查考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，平時(shí)應(yīng)作為重點(diǎn)來(lái)復(fù)習(xí)訓(xùn)練．