Question

【題目】已知直線的方程為，點(diǎn)是拋物線上到直線距離最小的點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上異于點(diǎn)的點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)與軸平行的直線與拋物線交于點(diǎn).

（Ⅰ）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）證明直線恒過定點(diǎn)，并求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 恒過定點(diǎn)，證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）到直線距離最小的點(diǎn)，可根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，取最小值時(shí)的點(diǎn)；也可根據(jù)幾何意義得為與直線平行且與拋物線相切的切點(diǎn)：如根據(jù)點(diǎn)到直線的距離

得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值，（Ⅱ）解析幾何中定點(diǎn)問題的解決方法，為以算代證，即先求出直線AB方程，根據(jù)恒等關(guān)系求定點(diǎn).先設(shè)點(diǎn) ，求出直線AP方程，與直線方程聯(lián)立，解出點(diǎn)縱坐標(biāo)為.即得點(diǎn)的坐標(biāo)為，再根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線AB方程，最后根據(jù)方程對應(yīng)恒成立得定點(diǎn)

試題解析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，

所以，點(diǎn)到直線的距離

.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為.………………………………4分

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然.

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程為；

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，

化簡得；

綜上，直線的方程為.

與直線的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.

因?yàn)椋?/span>軸，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.

因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

當(dāng)，即時(shí)，直線的斜率.

所以直線的方程為，

整理得.

當(dāng)，時(shí)，上式對任意恒成立，

此時(shí)，直線恒過定點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，仍過定點(diǎn)，

故符合題意的直線恒過定點(diǎn).……………………………………13分