Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）的圖象的相鄰兩對(duì)稱中心的距離為$\frac{π}{2}$，且過(guò)點(diǎn)（$\frac{π}{8}$，-1）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）五點(diǎn)作圖法畫(huà)出函數(shù)f（x）在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖；
（3）求方程f（x）-2=m在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]上有解，求m的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知確定函數(shù)的頻率和初相的值，可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）列表求出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得函數(shù)的簡(jiǎn)圖；
（3）方程f（x）-2=m在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]上有解，則m+2∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，解得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π＜ρ＜0）的圖象的相鄰兩對(duì)稱中心的距離為$\frac{π}{2}$，
∴T=2×$\frac{π}{2}$=π，
又∵ω＞0，
∴ω=$\frac{2π}{π}$=2，
∵函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）的圖象過(guò)點(diǎn)（$\frac{π}{8}$，-1）．
∴2×$\frac{π}{8}$+φ=$-\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴φ=$-\frac{3π}{4}$+2kπ，k∈Z，
又∵-π＜φ＜0，
∴φ=$-\frac{3π}{4}$，
∴f（x）=sin（2x$-\frac{3π}{4}$），
（2）①列表：

x	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$	$\frac{9π}{8}$	$\frac{11π}{8}$
2x$-\frac{3π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
f（x）=sin（2x$-\frac{3π}{4}$）	0	1	0	-1	0

②在坐標(biāo)系中描出以上五點(diǎn)，
③用光滑的曲線連接這五點(diǎn)，得所要求作的函數(shù)圖象如下：

（3）由（2）中圖象可得：函數(shù)f（x）在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{8}$]上為增函數(shù)，在x∈[$\frac{5π}{8}$，$\frac{2π}{3}$]上減函數(shù)，
故當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時(shí)，函數(shù)取最小值-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，當(dāng)x=$\frac{5π}{8}$時(shí)，函數(shù)取最大值1，
若方程f（x）-2=m在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]上有解，則m+2∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
則m∈[-2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．