Question

（本小題滿分13分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，（），．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列？

（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為， ，點(diǎn)在直線上，在（1）的條件下，若不等式對于恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．

 

Answer 1

（1）時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列；（2）.

【解析】

試題分析：（1）給出與的關(guān)系，求，常用思路：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與的關(guān)系，再求；由推時(shí)，別漏掉這種情況，大部分學(xué)生好遺忘;（2）一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列

的前項(xiàng)的和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后做差求解；（3）在做題時(shí)注意觀察式子特點(diǎn)選擇有關(guān)公式和性質(zhì)進(jìn)行化簡，這樣給做題帶來方便，掌握常見求和方法，如分組轉(zhuǎn)化求和，裂項(xiàng)法，錯(cuò)位相減.

試題解析：（1）由，得（），

兩式相減得，即， 1分

所以（）， 2分

由及，得，

:]因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以只需要，解得，此時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列． 4分

（2）由（1）得，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，

故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，所以，

當(dāng)時(shí)，，滿足該式，所以． 6分

不等式，即為，

令，則，兩式相減得

，所以． 10分

由恒成立，即恒成立，又，

故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則的最小值為，所以實(shí)數(shù)的最大值是． 13分

考點(diǎn)：1、證明數(shù)列是等比數(shù)列；2、錯(cuò)位相減求數(shù)列的和；3、恒成立的問題.