Question

16．已知橢圓方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a$＞b＞0）的左右頂點(diǎn)為A，B，右焦點(diǎn)為F，若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的最大距離為3，且離心率為方程2x²-5x+2=0的根，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)P為橢圓上任一點(diǎn)，連接AP，PB并分別延長(zhǎng)交直線l：x=4于M，N兩點(diǎn)，求線段MN的最小值．

Answer 1

分析 （1）由離心率為方程2x²-5x+2=0的根，求出e，再由題意列a，b，c的等量關(guān)系列出方程組，求解即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由題意知直線AP，PB的斜率都存在，設(shè)P（m，n），設(shè)直線AP斜率為k，AP直線方程為：y=k（x+2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得P點(diǎn)的坐標(biāo)，又B（2，0），直線PB的斜率為$-\frac{3}{4k}$，求出PB直線方程為：$y=-\frac{3}{4k}（x-2）$，進(jìn)一步求出M，N點(diǎn)的坐標(biāo)，則線段MN的最小值可求．

解答 解：（1）∵2x²-5x+2=0的根為x=2或x=$\frac{1}{2}$，又離心率e∈（0，1），∴x=2舍去．
由題意列a，b，c的等量關(guān)系為：$\left\{\begin{array}{l}{a+c=3}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}-^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由題意知直線AP，PB的斜率都存在，設(shè)P（m，n），設(shè)直線AP斜率為k，AP直線方程為：y=k（x+2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得：（3+4k²）x²+16k²x+（16k²-12）=0，
則x₁=-2，x₂=m是其方程的兩個(gè)根，∴-2m=$\frac{{16{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
∴$m=\frac{6-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，代入y=k（x+2），
得$n=\frac{12k}{3+4{k}^{2}}$，∴$P（\frac{6-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，\frac{12}{3+4{k}^{2}}）$，
又B（2，0）∴直線PB的斜率為$-\frac{3}{4k}$，
∴PB直線方程為：$y=-\frac{3}{4k}（x-2）$，
又直線AP，BP與直線x=4相交于M，N兩點(diǎn)，
∴$M（4，6k），N（4，-\frac{3}{2k}）$，$MN=|{6k}|+|{-\frac{3}{2k}}|$$≥2\sqrt{|{6k}|•|{-\frac{3}{2k}}|}=6$，
當(dāng)且僅當(dāng)$|{6k}|=|{-\frac{3}{2k}}|$時(shí)“=”成立，解得$k=±\frac{1}{2}$滿足題意，
∴線段MN的最小值為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，解答此題的關(guān)鍵是仔細(xì)計(jì)算，是中檔題．